第一次数学危机的影响（第一次数学危机）
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1、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
2、它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
3、他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
4、整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
5、日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
6、为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
7、于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
8、有理数有一种简单的几何解释。
9、在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
10、以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
11、于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
12、古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
13、但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
14、特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
15、于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
16、无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
17、无理数的发现，引起了第一次数学危机。
18、首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
19、其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
20、在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
21、由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
22、“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。
23、但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。
24、泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。
25、随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
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